Les personnes morales de droit public devront-elle établir un règlement intérieur ?

Oui.

Pour leur personnel qui n’est ni nommé dans un emploi permanent d’une administration publique, ni soumis à un statut législatif ou réglementaire particulier, les personnes morales de droit public devront établir un règlement intérieur.

Article 18 du décret n° 96-197 du 7 mars 1996 relatif au règlement intérieur