L’employeur doit-il verser une indemnité au travailleur lorsque son contrat à durée déterminée prend fin ?

Oui.

Lorsqu’un contrat à durée déterminée prend fin sans que ne soit conclu un contrat à durée indéterminée entre les parties, le travailleur a droit à une indemnité de fin de contrat comme complément de salaire.

Article 15.8 de la loi n° 2015-532 du 20 juillet 2015 portant Code du Travail