La rupture de la période d’essai donne-t-elle lieu au paiement de dommages-intérêts ?

Non.

Pendant la période d’essai fixée sans fraude ni abus, le contrat de travail peut être rompu librement sans préavis et sans que l’une ou l’autre des parties puisse prétendre à indemnités.

Article 18.1 de la loi n° 2015-532 du 20 juillet 2015 portant code du travail